![[컴퓨터 구조] 2진수 체계](https://img1.daumcdn.net/thumb/R750x0/?scode=mtistory2&fname=https%3A%2F%2Fblog.kakaocdn.net%2Fdn%2FcEO42V%2FbtrWU8G4YR3%2FmdZzeOCX2UkybFy4KdptQ0%2Fimg.png)
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디지털 시스템
- 디지털 시스템 : 0과 1을 조합해서 여러가지 정보를 얻어낼 수 있는 시스템
- 아날로그 시스템 (연속적) → 디지털 시스템 (이산적)
- 이산 정보
- 하나의 요소를 특정지을 수 있는 정보
- 유한개의 원소로 이루어진 모든 집합
- ex) 10진 자리수, 알파벳 26개 문자, 체스판 64개의 칸, ..
- Signal
- 이산적인 요소를 물리적 양으로 표현한 것
- ex) 전얍의 양, 전류의 양
- 이산 정보 요소를 2진 코드(0과 1)로 불리는 비트(bit)들의 그룹으로 표현 → 디지털 정보
- 비트(bit) : 데이터를 저장하는 물리적인 소자
2진수 (+ 8진수, 16진수)
- [10진수] 7392 = (7 * 10^3) + (3 * 10^2) + (9 * 10^1) + (2 * 10^0)
- [2진수] 11010.11(2) = (1 * 2^4) + (1 * 2^3) +(0 * 2^2) + (1 * 2^1) + (0 * 2^0) + (1 * 2^-1) + (1 * 2^-2)
- 디지털에서 8진수와 16진수도 쓰는 이유 : 2진수보다 자리를 덜 차지하여 bit를 절약할 수 있다. (1byte = 8bit)
- [8진수] 254(8) = (2 * 8^2) + (5 * 8^1) + (4 * 8^0)
- 16진수에서 10 = A, 11 = B, ... , 15 = F
- [16진수] F9(16) = (15 * 16^1) + (9 + 16^0)
기수 변환
- 10진수 19를 2진수로 변환 : 19(10) => 10011(2)
- 2진수 10011을 10진수로 변환 : 16 + 0 + 0 + 2 + 1 => 19(10)
(1 * 2^4) + (0 * 2^3) + (0 * 2^2) + (1 * 2^1) + (1 * 2^0)
- 10진수 소수 0.6875을 2진수로 변환 : 0.6875(10) => 0.1011(2)
0.6875 X 2 = 《1》 + 0.3750
0.7500 X 2 = 《1》 + 0.5000
0.5000 X 2 = 《1》 + 0.0000
0.3750 X 2 = 《0》 + 0.7500
2진수를 8진수나 16진수로 쉽게 변환하는 법
2진수로 구성된 숫자 3 bit는 하나의 8진수에 대응한다.
- 10110001101011.111100000110(2)를 8진수로 변환해보자.
10/110/001/101/011.111/100/000/110(2)
2 / 6 / 1 / 5 / 3 . 7 / 4 / 0 / 6
→ 26153.7406(8)
2진수로 구성된 숫자 4 bit는 하나의 16진수에 대응한다.
- 10110001101011.111100000110(2)를 16진수로 변환해보자.
10/1100/0110/1011.1111/0000/0110(2)
2 / 12 / 6 / 11 . 15 / 0 / 6
→ 2C6B.F06(16)
수의 보수
보수를 사용하는 이유
- 보수를 이용하면, 덧셈 하나로 뺄셈(및 다른 사칙 연산)을 함께 처리할 수 있게 되므로, 자원을 절약할 수 있다.
- 보수를 만드는 과정은 비트에 변화만 주면 되기 때문에, 감산기를 만드는 것보다 훨씬 간단하다.
- 기수 r의 체계에 대해 두 가지 형의 보수가 있다. : 감소된 기저 보수, 기저 보수
감소된 기저 보수
- 어떤 10진수의 9의 보수는, 9에서 각 자리 숫자를 뺌으로써 얻어진다.
- 10진수 546700에 대한 9의 보수 = 999999-546700 = 453299
- 10진수 012398애 대한 9의 보수 = 999999-012398 = 987601
- 어떤 2진수의 1의 보수는, 1에서 각 자리 숫자를 뺌으로써 얻어진다.
또는, 1을 0으로, 0을 1로 바꿔줌으로써 얻을 수 있다.
- 2진수 1011000에 대한 1의 보수 = 1111111-1011000 = 0100111
- 2진수 0101101에 대한 1의 보수 = 1111111-0101101 = 1010010
기저 보수
- 어떤 10진수의 10의 보수는, (9의 보수) + 1을 통해 얻어진다.
- 10진수 246700에 대한 10의 보수 = 1000000-246700 = 753300
- 10진수 012398에 대한 10의 보수 = 1000000-012398 = 987602
- 어떤 2진수의 2의 보수는, (1의 보수) + 1을 통해 얻어진다.
- 2진수 1101100에 대한 2의 보수 = 10000000-1101100 = 0010100
- 2진수 0110111애 대한 2의 보수 = 10000000-0110111 = 1001001
- 또는, 일의 자리부터 첫번째로 1이 등장할 때까지의 모든 유효숫자 0과 그 첫번째 1은 바꾸지 않고, 그보다 높은 나머지 모든 자리 숫자를 1 → 0, 0 → 1로 바꿔서 얻을 수 있다.
보수를 이용한 뺄셈
- 보수와 덧셈을 이용하여 뺄셈 연산을 하는 법을 알아보자.
- A - B에서 A는 '피감수', B는 '감수'라 부른다.
- ✨ 연산 과정
- Step 0) 피감수와 감수 자리수 통일 (빈 곳은 0으로 채운다)
- Step 1) 감수에 r의 보수를 취한다. (A, B는 모두 r진수)
- Step 2) 피감수 + (감수의 r의 보수)
- Step 3)
if 피감수 > 감수 : 끝자리 올림 삭제
elif 피감수 < 감수 : 결과값에 다시 r의 보수 취하고 마이너스(-) 붙이기
- (예1) 10진수 계산 : 72532 - 3250
- Step 0) 피감수 73252, 감수 03250 자리수 통일
- Step 1) 감수 03250에 10의 보수 취한다. → 96750
- Step 2) 피감수 73252 + 감수의 10의 보수 96750 = 169282
- Step 3) 피감수 > 감수이므로, 끝자리 올림 100000 버리고 남은 값 69282가 답이다.
- (예2) 10진수 계산 : 3250 - 72532
- Step 0) 피감수 03250, 감수 73252 자리수 통일
- Step 1) 감수 73252에 10의 보수 취한다. → 26748
- Step 2) 피감수 03250 + 감수의 10의 보수 26748 = 30718
- Step 3-1) 피감수 < 감수이므로, 결괏값 30718에 다시 10의 보수를 취한다.
- Step 3-2) 계산값 69282에 마이너스를 붙인 -69282가 답이다.
- (예3) 2진수 계산 : 1010100 - 1000011
- Step 0) 피감수 1010100, 감수 1000011 자리수 통일 (자리수 동일하므로 생략)
- Step 1) 감수 1000011에 2의 보수 취한다. → 0111101
- Step 2) 피감수 1010100 + 감수의 2의 보수 0111101 = 10010001
- Step 3) 피감수 > 감수이므로, 끝자리 올림 10000000 버리고 남은 값 0010001이 답이다.
- (예4) 2진수 계산 : 1000011 - 1010100
- Step 0) 피감수 1000011, 감수 1010100 자리수 통일
- Step 1) 감수 1010100에 2의 보수 취한다. → 0101100
- Step 2) 피감수 1000011 + 감수의 2의 보수 0101100 = 1101111
- Step 3-1) 피감수 < 감수이므로, 결괏값 1101111에 다시 2의 보수를 취한다.
- Step 3-2) 계산값 0010001에 마이너스를 붙인 -0010001이 답이다.
<사진 출처>
10진수를 2진수로 변환, 2진수를 10진수로 변환 (개인 블로그)
<참고 자료>
전공 서적 『디지털 디자인』 (M. Morris Mano, Michael D. Ciletti 저 / 퍼스트북 출판),
『논리 회로』 학부 수업 자료
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